Conclusion: La propriété est vraie au rang 0 et est héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier \(n\). Inégalité de Bernoulli: Soit \(a\) un réel strictement positif. Pour tout entier naturel \(n\), \((1+a)^n \geqslant 1+na\) Démonstration:Nous allons démontrer cette propriété par récurrence. Pour un entier naturel \(n\), on note \(\mathcal{P}(n)\) la proposition « \((1+a)^n \geqslant 1+na\) ». Initialisation: Prenons \(n=0\). \((1+a)^0 = 1\) et \(1+ 0 \times a = 1\). On a bien \((1+a)^0 \geqslant 1+0 \times a\). Suites et récurrence/Exercices/Suite récurrente — Wikiversité. \(\mathcal{P}(0)\) est donc vraie. Hérédité: Soit \(n\in\mathbb{N}\). On a donc \((1+a)^n \geqslant 1+na\) multipliant des deux côtés de l'inégalité par \((1+a)\), qui est strictement positif, on obtient \((1+a)^{n+1}\geqslant (1+na)(1+a)\). Or, \[(1+na)(1+a)=1+na+a+na^2=1+(n+1)a+na^2 \geqslant 1+(n+1)a\]Ainsi, \((1+a)^{n+1} \geqslant 1+(n+1)a\). \(\mathcal{P}(n+1)\) est donc vraie. Conclusion: \(\mathcal{P}(0)\) est vraie et, si \(\mathcal{P}(n)\) est vraie, \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.
$v_n={n}/{n(1+{1}/{n})}={1}/{1+{1}/{n}}$. Et par là: $\lim↙{n→+∞}v_n={1}/{1+0}=1$.
I - Démonstration par récurrence Théorème Soit P ( n) P\left(n\right) une proposition qui dépend d'un entier naturel n n. Si P ( n 0) P\left(n_{0}\right) est vraie (initialisation) Et si P ( n) P\left(n\right) vraie entraîne P ( n + 1) P\left(n+1\right) vraie (hérédité) alors la propriété P ( n) P\left(n\right) est vraie pour tout entier n ⩾ n 0 n\geqslant n_{0} Remarques La démonstration par récurrence s'apparente au "principe des dominos": L'étape d'initialisation est souvent facile à démontrer; toutefois, faites attention à ne pas l'oublier! Pour prouver l'hérédité, on suppose que la propriété est vraie pour un certain entier n n (cette supposition est appelée hypothèse de récurrence) et on démontre qu'elle est alors vraie pour l'entier n + 1 n+1. Pour cela, il est conseillé d'écrire ce que signifie P ( n + 1) P\left(n+1\right) (que l'on souhaite démontrer), en remplaçant n n par n + n+ 1 dans la propriété P ( n) P\left(n\right) Exemple Montrons que pour tout entier n strictement positif 1 + 2 +... Exercice récurrence suite 1. + n = n ( n + 1) 2 1+2+... +n=\frac{n\left(n+1\right)}{2}.
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I- Introduction: Le raisonnement par récurrence est utilisé pour montrer des résultats faisant intervenir une variable entière de l'ensemble ou d'une partie de cet ensemble, comme par exemple, etc. Cette démonstration s'effectue en trois étapes: L'étape initialisation: Montrer que le résultat est vrai pour le tout premier rang (en général le premier rang est 0, mais il se peut que le premier rang soit 1, 2 ou autre, cela dépend du résultat à démontrer). L'étape hérédité: Montrer que le résultat est héréditaire, c'est-à-dire montrer que le résultat peut être "transmis" d'un rang quelconque au rang suivant. Suites et récurrence - Mathoutils. La conclusion Pour expliquer ce principe assez intuitivement, prenons les deux exemples suivants: Exemple 1: La file de dominos Si l'on pousse le premier domino de la file (Initialisation). Et si les dominos sont posés l'un après l'autre d'une manière à ce que la chute d'un domino entraîne la chute de son suivant (Hérédité). Alors: Tous les dominos de la file tombent. (la conclusion) Exemple 2: L'échelle Si on sait monter le premier barreau de l'echelle (Initialisation).
On a prouvé que est vraie. Ces exercices sont un avant goût. Vous trouverez beaucoup plus d'exercices et d'annales corrigées dans notre application mobile PrepApp. Exercice récurrence suite sur le site de l'éditeur. N'hésitez pas à faire appel à un professeur particulier pour bénéficier de cours particuliers en maths et progresser encore plus, ou consultez aussi les nombreux autres cours en ligne de maths en terminale, comme les chapitres suivants: les suites les limites la continuité l'algorithmique le complément de fonction exponentielle